Question

10．已知抛物线C：y²=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（1）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（2）求证：QR过定点．

Answer 1

分析 （1）求得P（1，2），考虑过P与对称轴y=0平行，和过P且与抛物线相切的直线，计算即可得到所求直线方程；
（2）设出抛物线上的Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），而P（1，2），由PQ⊥PR．借助于向量数量积等于0得到a，b的关系，由两点式求出QR所在直线的斜率，写出QR的点斜式方程，与a，b的关系式结合后由直线系方程得答案．

解答 解：（1）由题意可得P（1，2），
当过P与对称轴y=0平行，与抛物线只有一个交点，
直线方程即为y=2；
当过P且与抛物线相切的直线和抛物线只有一个交点，
由y²=4x对x求导，得2yy′=4，
则切线的斜率为k=$\frac{2}{2}$=1，
即有直线方程为y-2=x-1，即为y=x+1．
故直线l的方程为y=2或y=x+1；
（2）证明：设Q（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），R（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），而P（1，2），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，a-2），$\overrightarrow{PR}$=（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1，b-2），
由于PQ⊥PR，得向量$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PR}$=0，
即为（$\frac{{a}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{b}^{2}}{4}$-1）+（a-2）（b-2）=0，
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过QR的直线的斜率为：$\frac{a-b}{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{a+b}$．
∴过QR的直线方程为y-b=$\frac{4}{a+b}$（x-$\frac{{b}^{2}}{4}$），
整理得4x+ab-（a+b）y=0，
即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线QR必过定点（5，-2）．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，是中档题．