题目内容

8.已知正数a,b满足a+3b=5ab,实数x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$,若z=ax+by,求当3a+4b取最小值时z的最大值.

分析 利用基本不等式求出a,b,然后由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答 解:正数a,b满足a+3b=5ab,可得:$\frac{1}{b}+\frac{3}{a}=5$,则3a+4b=$\frac{1}{5}$(3a+4b)($\frac{1}{b}+\frac{3}{a}$)=$\frac{1}{5}$($\frac{3a}{b}+\frac{12b}{a}$+13)
≥$\frac{1}{5}×(2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{12b}{a}}+13)$=3,当且仅当a=1,b=$\frac{1}{2}$,取等号.
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤2\\ x+2y≥5\\ y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如图,
联立$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y-2=0\end{array}\right.$,解得A(4,2),
由z=x+$\frac{1}{2}$y,得y=-2x+2z,
由图可知,当直线y=-2x+2z过点A(4,2)时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为:4+2×$\frac{1}{2}$=5.

点评 本题考查了基本不等式的应用,简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

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