Question

【题目】定义在D上的函数，若满足： ，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

（I）设，证明： 在上是有界函数，并写出所有上界的值的集合；

（II）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合函数的单调性即可证得结论，且所有上界的值的集合是；

(2)利用题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围是.

试题解析：

（I）证明：因为，

所以在上是增函数. 所以. 即，

所以，所以是有界函数．

所以，上界M满足M≥1，所有上界M的集合为．.

（II）解：因为函数在上是以3为上界的有界函数，

所以在上恒成立.

所以， ，

令，则，所以在上恒成立，

所以， 在上恒成立，

令，则在上是减函数，

所以；

令，则在上是增函数，

所以，.

所以，实数a的取值范围．