题目内容

(本大题满分13分)如图,现有一块半径为2m,圆心角为的扇形铁皮,欲从其中裁剪出一块内接五边形,使点弧上,点分别在半径上,四边形是矩形,点在弧上,点在线段上,四边形是直角梯形.现有如下裁剪方案:先使矩形的面积达到最大,在此前提下,再使直角梯形的面积也达到最大.
(Ⅰ)设,当矩形的面积最大时,求的值;
(Ⅱ)求按这种裁剪方法的原材料利用率.
解:(Ⅰ)先求矩形面积的最大值:
,则
,∴当,即时,
此时, ……………………6分
(Ⅱ)过Q点作垂足为S,设
中,有


……… 8分
,∵,∴
此时,则
时,的最大值为  ………………………… 10分
∴方案裁剪出内接五边形面积最大值为   ,即利用率=……12分
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