Question

13．已知：z∈C，|z|=1，设u=（3+4i）z+（3-4i）$\overline{z}$
（1）证明u是实数
（2）求u的最大与最小值．

Answer 1

分析 根据题意设，z=cost+isint，$\overline{z}$=cost-isint，利用复数的运算法则即可证明u为实数，再根据三角形函数的性质，即可求出最值．

解答 解：（1）∵|z|=1，z∈C，
设z=cost+isint，$\overline{z}$=cost-isint
∴u=（3+4i）z+（3-4i）$\overline{z}$，
=（3+4i）（cost+isint）+（3-4i）（cost-isint），
=[（3cost-4sint）+i（3sint+4cost）]+[（3cost-4sint）-i（3sint+4cost）]，
=6cost-8sint，
=10cos（t+θ），其中tanθ=$\frac{4}{3}$，
∴u是实数；
（2）由（1）知u=10cos（t+θ），
∵-1≤cos（t+θ）≤1，
∴-10≤u≤10，
故最大值为10．最小值为-10．

点评 本题考查了复数的运算法则和三角函数的性质，关键是换元的思想应用，属于中档题．