Question

8．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（2sin（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{4}$+x），-$\sqrt{3}$），x∈R，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的周期和单调递增区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角差的正弦公式，化简可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用正弦函数的周期公式和单调增区间，解不等式即可得到所求；
（Ⅲ）由正弦函数的图象和性质，可得f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，即为m+2的范围，解不等式即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（2sin（$\frac{π}{4}$+x），cos2x）．$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{4}$+x），-$\sqrt{3}$），
则f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（2x+$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）f（x）的周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅲ）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则f（x）的值域为[2，3]，
由m+2∈[2，3]，
可得m∈[0，1]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，二倍角公式的运用和两角差的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和单调性的运用，属于中档题．