Question

16．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$ （n≥2），a₁=1．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过裂项可知$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，进而利用累加法计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）知a_n=2n-1，利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-2}}{n-2}$=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{2}$，
以上各式相加得$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=1-$\frac{1}{n}$，
即b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$+1-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，即a_n=2n-1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．