Question

1．定义[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2．[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]．
（1）$\left\{{\frac{999}{1000}}\right\}+\left\{{\frac{{{{999}^2}}}{1000}}\right\}+\left\{{\frac{{{{999}^3}}}{1000}}\right\}+$…+$\left\{{\frac{{{{999}^{1000}}}}{1000}}\right\}$=500；
（2）若x∈[0，316]，函数f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零点个数为m，则m=101．

Answer 1

分析 （1）由 $\frac{{999}^{n}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{n}}{1000}$=$\frac{{C}_{n}^{0}{•1000}^{1000}{-C}_{n}^{1}{•1000}^{999}+…{+C}_{n}^{n-1}{•1000•（-1）}^{n-1}{+（-1）}^{n}}{1000}$可得$\{\frac{{999}^{2}}{1000}\}$=$\frac{1}{1000}$，{$\frac{{999}^{3}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$，{$\frac{{999}^{4}}{1000}$}=1，…，从而求得；
（2）由函数f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0可得2[x]-x=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），作函数y=2[x]-x的图象，利用数形结合求解即可．

解答 解：（1）$\{\frac{999}{1000}\}$=$\frac{999}{1000}$，$\frac{{999}^{2}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{2}}{1000}$=1000-2+$\frac{1}{1000}$，∴$\{\frac{{999}^{2}}{1000}\}$=$\frac{1}{1000}$．
再由 $\frac{{999}^{n}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{n}}{1000}$=$\frac{{C}_{n}^{0}{•1000}^{1000}{-C}_{n}^{1}{•1000}^{999}+…{+C}_{n}^{n-1}{•1000•（-1）}^{n-1}{+（-1）}^{n}}{1000}$，
可得 {$\frac{{999}^{3}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$，{$\frac{{999}^{4}}{1000}$}=1，…，
∴$\left\{{\frac{999}{1000}}\right\}+\left\{{\frac{{{{999}^2}}}{1000}}\right\}+\left\{{\frac{{{{999}^3}}}{1000}}\right\}+$…+$\left\{{\frac{{{{999}^{1000}}}}{1000}}\right\}$=（$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$）+（$\frac{999}{1000}$+1$\frac{1}{1000}$）+…（$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$）=500，
故答案为：500．
（2）∵函数f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0，
∴sin²[x]=cos²{x}=cos²（x-[x]），
∴2[x]=x+$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
∴2[x]-x=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
作函数y=2[x]-x的图象如下，

结合图象可知，
若x∈[0，316]，则2[x]-x∈[-1，315]，
故$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$+π，$\frac{π}{2}$+2π，…，$\frac{π}{2}$+100π∈[-1，315]，
故m=101；
故答案为：101．

点评 本题考查了二项式定理的应用及数列求和方法的应用，同时考查了方程的根与函数的关系应用，属于中档题．