Question

6．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30°，D为侧棱SC的中点，截面△DEF过D且平行于AB，当△DEF周长最小时，则截得的三棱锥S-DEF的侧面积为$\frac{2+\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 画出三棱锥的侧面展开图，通过截面△DEF过D且平行于AB，求解等腰三角形的斜边的长度即可．

解答 解：三棱锥的展开图如图：三棱锥沿SC侧面展开，各侧面的顶角为30°，展开图顶角为90°，
D为侧棱SC的中点，截面△DEF过D且平行于AB，可得DD′∥AB，
DD′=DE+EF+FD′是截面△DEF周长的最小值．
SC═$\frac{\frac{1}{2}AC}{cos75°}$=$\frac{a}{2（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}）}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a$．
SD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}a$，
截得的三棱锥S-DEF的侧面积为：S_△SDD′=$\frac{1}{2}$SD²=$\frac{1}{2}$×$（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}）^{2}{a}^{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$．

故答案为：$\frac{2+\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$

点评 本题考查三棱锥的结构特征，直线与平面平行的性质定理的应用，侧面展开图的应用，考查计算能力．