Question

17．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形AEFD翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离．

Answer 1

分析 （1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN?平面BEC，且AM?平面BEC，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．

解答 （1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）
所以四边形ABNM为平行四边形．
所以BN∥AM．（4分）
又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．（5分）
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（7分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=$\sqrt{2}$．
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．（8分）
所以BC⊥平面BDE．（10分）
（3）解：由（2）知，BC⊥平面BDE
又因为BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）
过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）
在直角三角形BDE中，DG=$\frac{BD•DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
所以点D到平面BEC的距离等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（14分）

点评 本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于综合题．