Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F，现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连接AF，M，N分别为AD，BC的中点．
（1）求证：MN∥面AEF；
（2）当∠AEF=120°时，求二面角A-BD-E大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得△ACD是正三角形，∠ECF=30°，取DE中点O，先推导出平面AEF∥平面MON，由此能证明MN∥平面AEF．
（2）以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，过E与平面BDC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-E大小的余弦值．

解答 （1）证明：∵在 Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=CD=BD，
∵∠B=30°，∴△ACD是正三角形，∠ECF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}CF$，CE=$\frac{1}{2}AC$，∴CF=$\frac{1}{2}BF$，
又∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，EF⊥CD，
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，
∴CD⊥平面AEF，
取DE中点O，连结MO，NO，
∵M是AD中点，∴MO∥AE，
∵CE=2OE，CF=2FN，∴NO∥EF，
∵AE∩EF=E，MO∩NO=O，
∴平面AEF∥平面MON，
∵MN?平面MON，∴MN∥平面AEF．
（2）解：以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，
过E与平面BDC垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
∵∠AEF=120°，设AC=2，
∴A（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），D（0，1，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{EB}$=（$\sqrt{3}，2，0$），$\overrightarrow{ED}$=（0，1，0），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x-y+\frac{3}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，-1），
又平面EBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-BD-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{3+9+1}}$|=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角A-BD-E大小的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的证明，考查了二面角平面角的余弦值的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．