题目内容
【题目】如图所示，在三棱柱
中，侧面
为菱形，
，
，侧面
为正方形，平面
平面
.点
为线段
的中点，点
在线段
上，且
.
（1）证明：平面
平面；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由题意易知
和
，根据面面垂直的性质定理可证
，进而
平面
，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）根据题意，设
的中点为点
，以
点为坐标原，分别以向量
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出结果.
（1）连接
，
，因为四边形
为菱形，
，所以
为等边三角形.而点
为
中点，所以.
又平面
平面
，
所以
平面，所以.
而四边形
为正方形，所以
.
而
，所以.
又因为
，所以平面.
又因为
平面
，所以平面
平面.
（2）设的中点为点，以点为坐标原，分别以向量，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则有
，
，
，
.
，
，
，所以
.
又
，
，
所以
.
设平面
的法向量为
，则
，所以
.
取
，则
，
.
设
为直线
与平面所成的角，
所以
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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