题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣1．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围；
（2）求证： 
．
【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由题意可得 
在区间[1，+∞）上恒成立，
所以a≥（ 
）max，又y= 在区间[1，+∞）上递减，
所以（ ）max=1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）
（2）证明：取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，
所以，当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，
因为 
，
所以 
，即 
，
所以： 
， 
，
ln 
＜ 
，…， ，ln 
＜ 
，
所以： 
，
ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn+ln（n+2）﹣ln（n+1）＜1+ 
+ +…+ 
，
即 
，得证
【解析】（1）由题意可得 
在区间[1，+∞）上恒成立，所以a≥（ 
）max，由单调性可得最大值，即可得到a的范围；（2）取a=1，由（1）有f（x）在区间[1，+∞）上递增，可得当x＞1时，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x﹣1，因为 
，所以 
，即 
，运用累加法，以及对数的运算性质即可得证．
【题目】当今信息时代，众多高中生也配上了手机．某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，并制成下面的2×2列联表：
及格 | 不及格 | 合计 | |
很少使用手机 | 20 | 6 | 26 |
经常使用手机 | 10 | 14 | 24 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
（1）判断是否有97.5%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？
（2）从这50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数学题，甲、乙独立解出此题的概率分别为P1 ， P2 ， 且P2=0.5，若|P1﹣P2|≥0.4，则此二人适合结为学习上互帮互助的“学习师徒”，记X为两人中解出此题的人数，若X的数学期望E（X）=1.4，问两人是否适合结为“学习师徒”？ 参考公式及数据： 
，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥K0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．
分组 | 频数 | 频率 |
[50，60） | 5 | 0.05 |
[60，70） | a | 0.20 |
[70，80） | 35 | b |
[80，90） | 25 | 0.25 |
[90，100） | 15 | 0.15 |
合计 | 100 | 1.00 |
（I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；
（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．
【题目】随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．
年龄（岁） | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
年龄不低于45岁的人 | 年龄低于45岁的人 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K2= 
，其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
