Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D₁-EC-D的大小为

π

6

？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）四边形ADD₁A₁为正方形，O是AD₁的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD₁的中位线∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OB?平面A₁DE∴BD₁∥平面A₁DE…（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AE⊥A₁D，
又∵A₁D⊥AD₁，AE∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
（3）由题意可得：D₁D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
设E（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），
∵

EC

=(-1，2-y0，0)，

D1C

=(0，2，-1)
设平面D₁EC的法向量为

n1

=（x，y，z）则

n1 • EC =0 n1 • D1C =0

，得

-x+y(2-y0)=0 2y-z=0

取

n1

是平面D₁EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为

n2

=（0，0，1），要使二面角D₁-EC-D的大小为

π

6

，
而cos

π

6

=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

(2-y0)2+12+22

=

3

2

解得：y0=2-

3

3

(0≤y0≤2)，当AE=2-

3

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

6

…（6分）