Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的大小．

Answer 1

解法一：（1）证明：取PC的中点O，连结OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC，
∴FO∥AE．
又∵E是AB的中点，且AB=DC，
∴FO=AE．
∴四边形AEOF是平行四边形，∴AF∥OE．…（5分）
又OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）作AM⊥CE，交CE延长线于M，连结PM．
由三垂线定理，得PM⊥CE．
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．…（11分）
由△AME～△CBE，可得AM=

2

2

．
∴tan∠PMA=

1

2 2

=

2

．
∴二面角P-EC-D的大小为arctan

2

．…（14分）
解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），F(0，

1

2

，

1

2

)，E（1，0，0），…．（2分）
（1）证明：取PC的中点O，连结OE．则O(1，

1

2

，

1

2

)．

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

EO

=(0，

1

2

，

1

2

)，∴

AF

∥

EO

．…（5分）
又OE?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）设平面PEC的法向量为

m

=（x，y，z）．
∵

PE

=(1，0，-1)，

EC

=(1，1，0)．
∴由

m • PE =0 m • EC =0

，可得

x-z=0 x+y=0.

令z=-1，则

m

=（-1，1，-1）．…（11分）
由题意可得平面ABCD的法向量是

PA

=(0，0，-1)．
∴cos＜

m

，

PA

＞=

m • PA

| m || PA |

=

1

3

=

3

3

．
∴二面角P-EC-D的大小为arccos

3

3

．…（14分）