题目内容

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值（　　）
A．
1
2
B．
3
2
C．
7
3
D．
6
3

连接BG，则BG是BE在面ABD上的所以，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连接EF、FG，
∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，
连接DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG•FD=
1
3
FD2，
设侧棱AA1=2a
∴EF=a，∴FD=
3
a
于是ED=
2
a，EG=
1×
2
3
=
6
3
a，
∵FC=ED=
2
a，
∴AB=2
2
a，A1B=2
3
a，EB=
3
a．
∴sin∠EBG=
EG
EB
=
2
3

∴cos∠EBG=
7
3

∴直线A1B与平面ABD所成角的余弦值为
7
3
．
故选C．
练习册系列答案
相关题目
如图，△PAC与△ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO⊥平面ABC．
（1）证明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．
如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=
1
2
PA，F为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）若PE=
2
，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．
如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦．
如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：D1E⊥A1D；
（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1-EC-D的大小为
π
6
？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（　　）
A．
10
5
B．
10
10
C．
1
3
D．
2
2
3
如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=
2
，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C1，且AC1=2．
（1）求证：平面ABD⊥平面BC1D；
（2）E为线段AC1上的一个动点，当线段EC1的长为多少时，DE与平面BC1D所成的角为30°？
如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB=
2
，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，
（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大小．
已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.

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