Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，
四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=4，E为PD中点，
∴P（0，0，4），B（4，0，0），
A（0，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
∴

PB

=(4，0，-4)，

AC

=（4，4，0），

AE

=(0，2，2)，
设平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AC

=0，

n

•

AE

=0，
∴

4x+4y=0 2y+2z=0

，∴

n

=（1，-1，1），
∵

PB

•

n

=4+0-4=0，且PB不包含于平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
∵四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（3）∵平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
由（1）知平面AEC的法向量

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
sin＜

m

，

n

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角E-AC-D的正弦值为

6

3

．