Question

1．已知a^-1-a=1，求$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-2}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$的值．

Answer 1

分析 根据a^-1-a=1得出（a-a^-1）²=1，进而可得出a²+a^-2，通过（a²+a^-2）²，由完全平方公式即可得出结论；

解答 解：∵a^-1-a=1，∴（a^-1-a）²=1，即a²+a^-2=3；
可得a²+a^-2+2=5，∴（a^-1+a）²=5，a^-1+a=$±\sqrt{5}$．
∴$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-2}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$=$\frac{{（{a}^{\;}-{a}^{-1}）}^{2}}{（{a}^{\;}-{a}^{-1}）（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}）}$=$\frac{{a}^{\;}-{a}^{-1}}{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}+{a}^{-2}）}$=$\frac{1}{±3\sqrt{5}}$=±$\frac{\sqrt{5}}{15}$．

点评 本题考查的是负整数指数幂，在解答此类题目时要注意完全平方公式的灵活应用．