Question

15．已知平面上三点A，B，C，$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k的值是$\frac{1}{2}$，
（2）若△ABC为直角三角形，且∠B=90°，则k的值是3或-1．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用A，B，C三点共线，所以存在实数λ，有 $\overrightarrow{BC}$=λ $\overrightarrow{AC}$，带入坐标即可求k．
（2）△ABC为直角三角形，所以两条直角边相互垂直，所以对应的两个向量的数量积为0，从而求出k的值．

解答 解：（1）∵A，B，C三点不能构成三角形，∴三点A，B，C共线；
∴存在实数λ，使$\overrightarrow{BC}$=λ$\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}2-k=2λ\\ 3=4λ\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴k满足的条件是：k=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（2-k，3），$\overrightarrow{AC}$=（2，4）．
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$=（k-2，-3）-（-2，-4）=（k，1）
∵△ABC为直角三角形；
∴若∠B是直角，则$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-k²+2k+3=0，解得k=-1或3；
综上可得k的值为：3或-1．
故答案为：3或-1．

点评 本题考查的知识点为：共线向量基本定理，向量的相等，数量积的坐标运算，相互垂直的两向量的数量积为0，注意第二问对于角为直角的讨论．