Question

17．过点P（6，12）且被圆x²+y²=100截得的弦长为16的直线方程为3x-4y+30=0或x+6=0．

Answer 1

分析 算出圆心为O（0，0）、半径r=10，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于6．当直线斜率存在时设直线方程为y-12=k（x-6），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得此时直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+6=0，到圆心的距离也等于6，符合题意．由此即可得出所求的直线方程．

解答 解：圆x²+y²=100的圆心为O（0，0），半径r=10．设圆心到直线的距离为d，
①当过点P（6，12）的直线斜率存在时，设直线方程为y-12=k（x-6），即kx-y-6k+12=0，
∵直线圆x²+y²=100截得弦长为16，
∴根据垂径定理，得d=6．
根据点到直线的距离公式，得$\frac{|-6k+12|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=6，解之得k=$\frac{3}{4}$，
此时直线的方程为3x-4y+30=0；
②当过点P（6，12）的直线斜率不存在时，直线方程为x=-6．
由圆心到直线的距离d=6，可得直线被圆截得的弦长也等于16，符合题意．
综上所述，可得所求的直线方程为3x-4y+30=0或x+6=0．
故答案为：3x-4y+30=0或x+6=0．

点评 本题给出经过定点的直线被圆截得的弦长，求直线的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．