Question

4．某市政府欲在如图所示的直角梯形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），性状为直角梯形DEFG（线段ED和FG为两条底边），已知BC=2AB=2AD=4km，其中曲线AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．
（Ⅰ）求曲线AC与CD、AD所围成区域的面积．
（Ⅱ）求该公园的最大面积．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，求出曲线AC的解析式，则所求面积等于梯形面积减去曲边三角形面积；
（2）设出F点横坐标a，将公园面积表示为a的函数，求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，4），D（0，2）．
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×（2+4）×2=6．
曲线AC的方程为y=x²，（0≤x≤2）．
曲线AC与CD、AD所围成区域的面积为6-${∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx$=6-$\frac{{x}^{3}}{3}$|$\underset{\stackrel{2}{\;}}{0}$=$\frac{10}{3}$．
（2）直线CD方程为$\frac{y-4}{2-4}=\frac{x-2}{0-2}$，即y=x+2，设点F横坐标为a，（0＜a＜$\sqrt{2}$）．
则F（a，a²），G（a，a+2），E（0，a²）．
∴DE=2-a²，EF=a，FG=a+2-a²，
则公园的面积为f（a）=$\frac{（2-{a}^{2}+a+2-{a}^{2}）a}{2}$=-a³+$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴f′（a）=-3a²+a+2．
令f′（a）=0得a₁=-$\frac{2}{3}$（舍），a₂=1．
当0＜a＜1时，f′（a）＞0，当1≤a≤$\sqrt{2}$时，f′（a）＜0，
∴f（a）在（0，1）上是增函数，在[1，$\sqrt{2}$）上是减函数．
∴f_max（a）=f（1）=$\frac{3}{2}$．
∴该公园的最大面积是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了定积分的应和函数的最大值，属于中档题．