Question

15．已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x（a∈R），其中e是自然对数的底数．
（1）若a=1，求函数f（x）在区间[-4，1]上的最大值；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先求原函数的导数，然后利用导数判断函数在[-4，1]上的单调性，从而求出函数的最值；
（2）先求函数的导数，适当整理后转化为研究含有参数的二次函数在R上的符号问题，从而确定原函数的单调性．

解答 解：（1）由题意得f（x）=（x²+x-1）e^x，
所以f′（x）=（x²+3x）e^x，令f′（x）=0得x=0或x=-3．
易知当x∈[-4，-3）∪（0，1]时，f′（x）＞0，当x∈（-3，0）时，f′（x）＜0．
故f（x）_极大=f（-3）=5e^-3，f（x）_极小=f（0）=-1，且f（-4）=11e^-4，f（1）=e．
所以f（x）_最大=f（1）=e．
（2）由已知得f′（x）=e^x[ax²+（2a+1）x]=ax（x$-\frac{2a+1}{-a}$）e^x，
当$-\frac{2a+1}{a}＞0$，即-$\frac{1}{2}＜a＜0$时，由f′（x）＞0得$0＜x＜-\frac{2a+1}{a}$；f′（x）＜0得x＜0或$x＞-\frac{2a+1}{a}$，
故此时函数f（x）在$（-∞，0），（-\frac{2a+1}{a}，+∞）$上递减，在$[0，-\frac{2a+1}{a}]$上递増；
当$-\frac{2a+1}{a}=0$，即a=$-\frac{1}{2}$时，f′（x）=ax²e^x≤0恒成立，故函数f（x）在定义域内是减函数；
当$-\frac{2a+1}{a}＜0$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得$-\frac{2a+1}{a}＜x＜0$，f′（x）＜0得$x＜-\frac{2a+1}{a}$或x＞0，
故此时函数在（-$∞，-\frac{2a+1}{a}$），（0，+∞）上递减，在[$-\frac{2a+1}{a}，0$]上递增．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性及求最值的方法步骤，同时考查了分类讨论的思想．