Question

16．函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）＞1的，求x的取值范围．
（3）讨论f（x）的单调性；
（4）解方程f（2x）=f^-1（x）

Answer 1

分析 （1）利用真数大于0，可得f（x）的定义域；
（2）f（x）＞1则log_a（a^x-1）＞1，即可求x的取值范围．
（3）t=a^x-1在（0，+∞）上单调递增，y=log_at在（0，+∞）上单调递增，可得f（x）的单调性；
（4）方程f（2x）=f^-1（x）化为a^2x-a^x-2=0，即可得出结论．

解答 解：（1）由a^x-1＞0（a＞1），可得x＞0，
∴f（x）的定义域是（0，+∞）；
（2）f（x）＞1，则log_a（a^x-1）＞1，
∵a＞1，
∴a^x-1＞a，
∴a^x＞1+a，
∴x＞log_a（a+1）；
（3）∵a＞1，∴t=a^x-1在（0，+∞）上单调递增，
∵y=log_at在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）∵f（2x）=f^-1（x），
∴log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），
∴a^2x-1=a^x+1，
∴a^2x-a^x-2=0，
∴a^x=2，
∴x=log_a2．

点评 本题考查对数函数，考查函数的单调性，考查学生解方程的能力，属于中档题．