题目内容
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求
·
的最小值.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求
·的最小值.(1) y2=4x(x≥0)和y=0(x<0) (2) 16
(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得
-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,
当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).
由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+
,x1x2=1.
因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-
.
设D(x3,y3),E(x4, y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
·=(
+
)·(
+
)
=·+·+·+·
=·+·=||·||+||·||
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1
=8+4(k2+
)≥8+4×2
=16.
故当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.
-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).
由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+
,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-
.设D(x3,y3),E(x4, y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
·=(+)·(+)=
·+·+·+·=
·+·=||·||+||·||=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+(2+
)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+
)≥8+4×2=16.故当且仅当k2=
,即k=±1时,·取最小值16.
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，其中
.
，且
∥
，求
，且
，求
夹角
.
为坐标原点，
．
的大小（结果用反三角函数值表示）；
为
轴上一点，求
的最大值及取得最大值时点
，
，
，动点
满足
且
，则点
到点
的距离大于
的概率为（ ）
,点P为边BC所在直线上的一个动点,则关于
·(
+
)的值,下列选项正确的是( )
，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
，则
＝( )
，
，若
，则实数
______;