题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
,
垂直于
和
,
,
,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是直线
上的动点,
与平面
所成的角为
,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】 试题分析:(1)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
的一个法向量
,由
,即可证明
平面
;
(2)易知平面的一个法向量为
,设平面
与平面
所成的二面角为
,求得
,即可求得平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
(3)设,则
,平面
的一个法向量为
,取得
的表达式,利用二次函数的性质,即可求解
的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则∴
令
,得
.
∵,
∴,∴
平面
.
(Ⅱ)易知平面的一个法向量为
,设平面
与平面
所成的二面角为
,
易知,则
,∴
,
所以平面与平面
所成的二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)设,则
,易知平面
的一个法向量为
,
∴,
当,即
时,
取得最大值,且
.
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