Question

【题目】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.

(1)求证：直线MF∥平面ABCD；

(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】试题分析：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN ，从而证明MF∥平面ABCD．

（2）由直四棱柱性质得A1A⊥平面ABCD，从而A1A⊥BD，由菱形性质推知AC⊥BD，所以BD⊥平面ACC1A1.又NA∥BD．易证得结论．

试题解析:

　(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.

∵F是BB1的中点，

∴F为C1N的中点，B为CN的中点.

又∵M是线段AC1的中点，

∴MF∥AN.

又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD.

(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，

∴A1A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD.

又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1.

在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，

∴四边形DANB为平行四边形，

∴NA∥BD，

∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA平面AFC1，

∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.