Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在轴上存在一点，使得轴平分.

【解析】试题分析：（1）根据两圆内切得，再根据椭圆定义得动点的轨迹的方程；（2）轴平分，就是直线的斜率相反，设直线，根据斜率坐标公式得，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得，即得

试题解析：解：（Ⅰ）圆的方程可化为： ，

故圆心，半径，

而，所以点在圆内.

又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，

所以，

故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.

显然，所以，

故曲线的方程为

（Ⅱ）设，当直线的斜率不为时，设直线，

代入得： ， 恒成立.

由根与系数的关系可得， ，

设直线的斜率分别为，则由得，

.

∴，将代入得，

因此，故存在满足题意.

当直线的斜率为时，直线为轴，取，满足，

综上，在轴上存在一点，使得轴平分.