题目内容

9.某科技兴趣小组需制作一个面积为$2\sqrt{2}$平方米,底角为45°的等腰梯形构件,则该梯形构件的周长的最小值为8米.

分析 设等腰梯形的上底为y米,高为x米,由底角为45°,则下底为2x+y米,运用梯形的面积公式,可得x+y为x的表达式,再由基本不等式,即可得到周长的最小值.

解答 解:设等腰梯形的上底为y米,高为x米,
由底角为45°,则下底为2x+y米,
则等腰梯形的面积为S=$\frac{1}{2}$x(2x+2y)=2$\sqrt{2}$,
即为x(x+y)=2$\sqrt{2}$,
即有x+y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$,
周长为c=2(x+y)+2$\sqrt{2}$x=$\frac{4\sqrt{2}}{x}$+2$\sqrt{2}$x
≥2$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}}{x}•2\sqrt{2}x}$=8.
当且仅当$\frac{4\sqrt{2}}{x}$=2$\sqrt{2}$x,即x=$\sqrt{2}$时,取得最小值,且为8米.
故答案为:8.

点评 本题考查基本不等式在最值应用题中的运用,考查运算能力,属于中档题.

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