Question

18．已知函数f（x）的值域是[-2，1]，函数g（x）=3x²-18xf（m）+48f（n），且对任意的实数t，均有g（1+e^-|t|）≥0，g（2+$\sqrt{4-{t}^{2}}$）≤0．
（1）求g（2）的值；
（2）求函数g（x）的解析式；
（3）若对任意的a∈[-2，6]，恒有g（x）≥12x²-ax-42x+13．求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题得，g（x），又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，从而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；
（2）先求出g（x）=0的另一根的取值范围，得出2+x₀=6f（m），最后得到f（m），f（n）的值，代入函数解析式即可；
（3）构造关于a的一次函数h（a）=ax-9x²+24x-13，不等式恒成立等价于$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥0}\\{h（6）≥0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）由题得，g（x）=3x²-18xf（m）+48f（n），又1+e^-|t|∈（1，2]，2+$\sqrt{4-{t}^{2}}$∈[2，4]，
知g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，
所以g（2）=0；
（2）设g（x）=0的另一根为x₀，由条件得x₀≥4，而2+x₀=6f（m），
∴6f（m）≥6，又6f（m）≤6，所以6f（m）=6，得f（m）=1，
∴g（x）=0的另一根为4，
∴f（n）=$\frac{1}{2}$，
即g（x）=3x²-18x+24．
（3）g（x）≥12x²-ax-42x+13，
∴3x²-18x+24≥12x²-ax-42x+13，
∴ax-9x²+24x+11≥0，
令h（a）=ax-9x²+24x+11，
∴h（a）≥0，在[-2，6]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥0}\\{h（6）≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9{x}^{2}+22x+11≥0}\\{-9{x}^{2}+30x+11≥0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{11+2\sqrt{55}}{9}$．

点评 本题考查待定系数法求解析式、函数与方程的综合运用、简单线性规划的应用问题，解答线性规划的问题的关键是应用数形结合思想方法，综合性强，难度较大．