Question

3．点P是单位圆O外任意一点，过P点作圆O的两条切线，切点为A、B，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为$2\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 如图所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．由于$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{PA}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{PA}$=0，得到cosθ=$\frac{1}{m}$．于是$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=${m}^{2}+\frac{2}{{m}^{2}}$-3，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：如图所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{PA}$=（cosθ，sinθ）•（cosθ-m，sinθ）=cosθ（cosθ-m）+sin²θ=0，
化为cosθ=$\frac{1}{m}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（cosθ-m，sinθ）•（cosθ-m，-sinθ）
=（cosθ-m）²-sin²θ
=2cos²θ+m²-3
=${m}^{2}+\frac{2}{{m}^{2}}$-3≥2$\sqrt{2}$-3，当且仅当m²=$\sqrt{2}$时取等号．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为2$\sqrt{2}$-3．
故答案为：2$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、数量积的运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．