Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．若椭圆上存在点P，使$\frac{{P{F_1}}}{{2P{F_2}}}=\frac{a}{c}$；则该椭圆离心率的范围是$[\frac{{-3+\sqrt{17}}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则$\frac{m}{2n}$=$\frac{a}{c}$，m+n=2a，化为m=$\frac{4a}{e+2}$，又a-c≤m≤a+c，化为$1-e≤\frac{4}{e+2}$≤1+e，0＜e＜1．解出即可得出．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则$\frac{m}{2n}$=$\frac{a}{c}$，m+n=2a，
化为m=$\frac{4a}{e+2}$，
又a-c≤m≤a+c，
∴a-c≤$\frac{4a}{e+2}$≤a+c，
化为$1-e≤\frac{4}{e+2}$≤1+e，0＜e＜1．
解得$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$≤e＜1，
故答案为：$[\frac{{-3+\sqrt{17}}}{2}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．