Question

10．若一个三角形三条边长是3个连续的自然数．
（1）如果这个三角形是一个钝角三角形，求它的最大边的长度；
（2）如果最大内角是最小内角的两倍，求它的最小边的长度．

Answer 1

分析 （1）设三边长分别是x，x+1，x+2（x∈N^*），根据题意建立关于x的不等式，解出-1＜x＜3，满足条件的正整数x=1或2．再加以检验可得只有三边为2、3、4时，能构成钝角三角形，从而得到答案．
（2）设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）×n×$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，从而得出结论．

解答 解：（1）设三边长分别是x，x+1，x+2（x∈N^*），
∵三角形ABC是钝角三角形ABC，
∴最长边所对的角为钝角，可得：x²+（x+1）²＜（x+2）²，整理得x²-2x-3＜0，
解之得：-1＜x＜3，满足条件的正整数x=1或2，
但是三边为1、2、3时，不能构成三角形；而三边为2、3、4时，恰好构成钝角三角形，
因此它的最大边的长度为4．
（2）设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理可得：$\frac{n-1}{sinα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化简可得n²-5n=0，
∴n=5，n=0（舍去），
此时，三角形的三边分别为：4，5，6，
故它的最小边的长度为：4．

点评 本题给出三角形的三边为连续正整数，求满足条件的三角形边长，着重考查了余弦定理和二次不等式的解法等知识，属于中档题．