Question

15．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，$\frac{1}{3}$S₃与$\frac{1}{4}$S₄的等差中项为1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质，建立方程组，即可得到结论．

解答 解：由已知得$\frac{1}{3}$S₃+$\frac{1}{4}$S₄=2，
∵$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，
∴设等差数列的首项为a₁，公差为d，
则${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$，
即$\frac{1}{n}{S}_{n}$=${a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}$d，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+\frac{3}{2}d）=（{a}_{1}+2d）^{2}}\\{2{a}_{1}+\frac{5}{2}d=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=0}\end{array}\right.$，
故${a}_{n}=-\frac{12}{5}n+\frac{32}{5}$或a_n=1．

点评 本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用解方程组法是解决本题的关键．