Question

15．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．
（1）已知点$P（{1，\frac{1}{2}}）$，求使△PAB面积为$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$时，椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的直径AB所在的直线方程；
（2）若过椭圆$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1的中心作斜率为k的直线交椭圆于M，N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以M为圆心，|MF₂|长度为半径作⊙M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程．若不存在，请说明理由．
（3）定理：若过圆x²+y²=1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出AB的横坐标，求出点$P（{1，\frac{1}{2}}）$到直线kx-y=0的距离，以及|AB|利用三角形的面积，求出k，然后求解直线AB的方程．
（2）存在⊙R：${（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$与⊙M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁．利用椭圆的定义推出结果即可．（3）①过圆x²+y²=r²（r＞0）的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．推广到②过圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．推广③过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值$-\frac{b^2}{a^2}$．推广④过有心圆锥曲线mx²+ny²=1（mn≠0）的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值$-\frac{m}{n}$．然后利用平方差法证明即可．

解答 解：（1）设直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1得${x^2}=\frac{1}{{{k^2}+\frac{1}{3}}}$，
则点$P（{1，\frac{1}{2}}）$到直线kx-y=0的距离为：$d=\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|=2\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}$，
解$S=\frac{1}{2}\left|AB\right|d=\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}=\sqrt{\frac{{k}^{2}-k+\frac{1}{4}}{{k}^{2}+\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，得$k=-\frac{2}{3}$，
故直线AB的方程为$y=-\frac{2}{3}x$
（2）存在⊙R：${（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$与⊙M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁．由椭圆的定义知，$|{M{F_1}}|+|{M{F_2}}|=2a=2\sqrt{3}$，
∴$|{M{F_1}}|=2\sqrt{3}-|{M{F_2}}|$．∴两圆相内切．
（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）①过圆x²+y²=r²（r＞0）的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．
②若过圆（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值-1．
③过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值$-\frac{b^2}{a^2}$．
④过有心圆锥曲线mx²+ny²=1（mn≠0）的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值$-\frac{m}{n}$．
证明：设曲线上任一直径AB，P为异于A，B的曲线上任一点．
设$A（{{x_1}，{y_1}}），B（{-{x_1}，-{y_1}}），P（{x，y}），{k_{AP}}=\frac{{y-{y_1}}}{{x-{x_1}}}，{k_{BP}}=\frac{{y+{y_1}}}{{x+{x_1}}}$，因为A，P在曲线上，
所以${k}_{AP}•{k}_{BP}=\frac{{y}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}^{2}-{x}_{1}^{2}}=\frac{\frac{1}{n}（{1-mx}^{2}）-\frac{1}{n}（1-m{x}_{1}^{2}）}{{x}^{2}-{x}_{1}^{2}}=-\frac{m}{n}$．

点评 本题椭圆的简单性质的应用，直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生探究意识以及逻辑推理能力，是开放性试题，难度比较大．