Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形得出PE⊥AD，利用面面垂直的性质可证明．
（2）建立空间坐标系，利用平面的法向量与$\overrightarrow{BM}$的夹角求解即可，sinθ=cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BM}$＞，转化为三角函数求解．

解答 解：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
（2）以E为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示
则E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{EP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{BM}$|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
设直线BM与平面ABCD所成角为θ，
sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题