题目内容
【题目】已知数列{an}中,已知a1=1,a2=a,an+1=k(an+an+2)对任意n∈N*都成立,数列{an}的前n项和为Sn .
(1)若{an}是等差数列,求k的值;
(2)若a=1,k=﹣ ,求Sn;
(3)是否存在实数k,使数列{am}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am , am+1 , am+2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵{an}是等差数列,则2an+1=an+an+2对任意n∈N*都成立,
又an+1=k(an+an+2)对任意n∈N*都成立,
∴k=
(2)解:∵an+1= (an+an+2),an+2+an+1=﹣(an+1+an),
an+3+an+2=﹣(an+2+an+1)=an+1+an,
当n是偶数时,
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an﹣1+an)= (a1+a2)= (a+1),
当n是奇数时,
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an﹣1+an),
=a1+ (a2+a3)=a1+ [﹣(a1+a2)]=1﹣ (a+1),n=1也适合上式.
综上可得,Sn=
(3)解:方法一:假设存在实数k,使数列{am}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am,am+1,am+2按某顺序排列后成等差数列.am,am+1,am+2分别表示为:am,amq, .
只考虑:1,q,q2(q≠1)的三种排列即可:
1,q,q2;1,q2,q;q2,1,q.可得2q=1+q2,2q2=1+q;2=q2+q.
分别解得q=1;q=1或﹣ ;q=1或q=﹣2.
∴只有q=﹣2满足条件.∴相邻三项am,am+1,am+2分别为:am,﹣2am,4am.
∴﹣2am=k(am+4am).解得k=﹣ .
方法二:设数列{am}是等比数列,则它的公比q= =a,则am=am﹣1,am+1=am,am+2=am+1,…6分 ①若am+1为等差中项,则2am+1=am+am+2,即2am=am﹣1+am+1,解得:a=1,不合题意;
②若am为等差中项,则2am=am+1+a+2,即2am﹣1=am+am+1,化简得:a2+a﹣2=0,
解得:a=﹣2或a=1(舍);k= = = =﹣ ;
③若am+2为等差中项,2am+2=am+am+1,即2am+1=am﹣1+am,化简得:2a2﹣a﹣1=0,
解得a=﹣ ;k= = = =﹣ ;
综上可得,满足要求的实数k有且仅有一个,k=﹣
【解析】(1)由等差数列等差中项的性质即可求得k的值;(2)由an+1= (an+an+2),an+2+an+1=﹣(an+1+an),an+3+an+2=﹣(an+2+an+1)=an+1+an , 分类,根据n为偶数或奇数时,分组,即可求得Sn;(3)方法一:由题意根据等比数列的性质,分别求得q的值,求得任意相邻三项的顺序,即可求得k的值,方法二:分类,根据等差数列的性质,求得a的值,即可求得k的值.
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式(及其变式)和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握通项公式:或;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
【题目】为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况,从两校各随机抽取60名学生,将所得样本作出频数分布统计表如下: 甲校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 2 | 5 | 9 | 10 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 14 | 10 | 6 | 4 |
乙校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 2 | 4 | 8 | 16 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 15 | 6 | 6 | 3 |
以抽样所得样本数据估计总体
(1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低;
(2)若规定数学成绩不低于120分为优秀,从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人,其中数学成绩为优秀的共X人,求X的分布列及数学期望.