题目内容
【题目】设函数,,其中,是自然对数的底数.
(1)若在上存在两个极值点,求的取值范围;
(2)若,,函数与函数的图象交于,,,,且线段的中点为,证明:.
【答案】(1);;(2)见解析.
【解析】
(1)求导,依题意,导函数满足在上有两个不等实根,转化可得,构造函数,利用导数可知,且由的趋近性可求得实数的取值范围;
(2)问题转化为证明,通过换元令,即证,再分别证明即可.
(1)由题意可知,,令,
则在上存在两个极值点等价于在上有两个不等实根,
由可得,
令,则,
令,则,
当时,,故函数在上单调递减,且,
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
是的极大值也是最大值,
,
,
又当时,,当时,大于0且趋向于0,
要使在有两个根,则;
(2)由题意可得,,
要证(1)成立,
只需证,即,
设,即证,
要证,只需证,
令,则,
在上为增函数,
,即成立;
要证,只需证,
令,则,
在上为减函数,
,即成立;
成立,
即成立.
【题目】法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000,上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000,标准差为50的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000的个数为,求的分布列和数学期望;
(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:)
981 | 972 | 966 | 992 | 1010 | 1008 | 954 | 952 | 969 | 978 |
989 | 1001 | 1006 | 957 | 952 | 969 | 981 | 984 | 952 | 959 |
987 | 1006 | 1000 | 977 | 966 |
尽管上述数据都落在上,但庞加菜还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由
附:
①若,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量
②若,则,,;
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.