题目内容
【题目】已知双曲线的左右焦点分别为
,
的周长为12.
(1)求点的轨迹
的方程.
(2)已知点,是否存在过点
的直线
与曲线
交于不同的两点
,使得
,若存在,求出直线
的方程,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,答案见解析.
【解析】
(1)依题意根据椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆,(除去与x轴的交点),
设方程为,由
,
,求出
即可得到椭圆方程;
(2显然直线的斜率不存在时,直线与椭圆无交点;当直线
的斜率存在时,设方程为
,联立直线与椭圆方程,消元,由
求出
的取值范围,设点
,
的中点
,列出韦达定理,表示出
,由又
,得到
,得到方程判断方程的解即可;
解:(1)由题意可得,
,
∴,
又∵的周长为12,
∴,
∴点P的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点),
设方程为,
∴,∴
,
∴,
∴点的轨迹C的方程为
.
(2)①当直线的斜率不存在时,直线与椭圆无交点;
②当直线的斜率存在时,设直线
的斜率为k,
则,
联立,
得,
由,
解得,且
.
设点,
的中点
∵,∴
又∵,∴
,
∵
∴,此方程无解.
综上所述,不存在直线使得
.
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