题目内容

(本小题满分14分)如图,棱锥的底面是矩形,
的中点.
(1)求证:;                                                                        
(2)求二面角的余弦值;
(3)设的中点,在棱上是否存在点
使?如果存在,请指出点的位置;
如果不存在,请说明理由.

(1)略
(2)
(3)在棱上存在点,使平面,且为棱的中点

证明:(1) 在中,
为正方形,因此.               ……………2分

.                                           ……………3分
  
.                                       ……………4分
解: (2) 建立如图所示的直角坐标系,则.………5分
中,
,                                                               
.……6分
设面的法向量

可以得到面的一个法向量.                 …………7分
平面
为面的一个法向量,                    …………8分

二面角的余弦值为.                      …………10分
(3)的中点,
的坐标为.
设棱上存在点使平面,            
,                                       …………11分
得面的一个法向量,
,                                   …………13分
在棱上存在点,使平面,且为棱的中点.……14分
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