题目内容
【题目】已知函数,,其中.
(1)设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同,用表示,并求的最大值;
(2)设,证明:若≥1,则对任意, ,,有
【答案】(1),最大值为(2)见解析
【解析】分析:(1)设f(x)与g(x)的图象交于点P(x0,y0)(x0>0),则有f(x0)=g(x0),求出导数,由斜率相等,求得切点的横坐标,可得b的解析式,求出导数,单调区间,可得最大值;
(2)不妨设x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,原不等式变形得h(x2)﹣14x2>h(x1)﹣14x1,构造函数T(x)=h(x)﹣14x,求出导数,判断单调性,即可得到结论.同理可证,当x1>x2时,命题也成立.
详解:(1)设的图象交于点,则有,
即 ①
又由题意知,即 ②
由②解得
将代入(1)整理得
令,则
当时,单调递增,当时单调递减,
所以,即,的最大值为
(2)证明:不妨设,
变形得
令,,
,
所以 在上单调递增,,
即成立
同理可证,当时,命题也成立
综上, 对任意,,,不等式成立.
练习册系列答案
相关题目
【题目】空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图:
根据统计图判断,下列结论正确的是( )
A. 整体上看,这个月的空气质量越来越差
B. 整体上看,前半月的空气质量好于后半个月的空气质量
C. 从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值