Question

【题目】已知集合，其中。表示集合A中任意两个不同元素的和的不同值的个数。

(1)若，分别求和的值；

(2)若集合，求的值，并说明理由；

(3)集合 中有2019个元素，求的最小值，并说明理由。

Answer 1

【答案】(1) ＝5，＝10 (2)见解析；(3) 最小值是4035

【解析】

（1）根据题意进行元素相加即可得出和的值；

(2) 因为共有项，所以．由集合，任取，由此能出的值；

（3）不妨设，可得，故中至少有4035个不同的数，即．由此能出的最小值．

（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，

得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，

4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10 ．

（2）证明：因为共有项，所以．

又集合，不妨设，m＝1，2，…，n．

，

当时，不妨设，则，即，

当时，，因此，当且仅当时，．

即所有的值两两不同，因此．

（3）不妨设，

可得，

故中至少有4035个不同的数，即．

事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，

当时， ；

当时， ；

因此每个和等于中的一个，

或者等于中的一个．所以最小值是4035。