Question

设等差数列{ }的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列{ }满足，求{}的前n项和T_n；
（3）是否存在实数K，使得T_n恒成立.若有，求出K的最大值，若没有，说明理由.

Answer 1

（1）a_n=2n﹣1，n∈N^*；（2）；（3）.

试题分析：（1）由于{a_n}是等差数列，故只需求出其首项a₁和公差d即可得其通项公式.由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得方程组：，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n抵消了(如果n不能抵消，则左右两边对应系数相等)，故实质上只有两个未知数.解这个方程组即可（也可以取n=2）.（2）首先求出{b_n}的通项公式. 已知求，则.在本题中，由已知可得：当n≥2时，，显然，n=1时符合．由（1）得，a_n=2n﹣1，n∈N^*．从而，n∈N^*．这个数列用错位相消法便可求得其和．（3）T_n恒成立，则.为了求，需要研究的单调性，为了研究的单调性，需考查的符号.
试题解析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n﹣1，n∈N^*．（2）由已知，得：
当n=1时，，
当n≥2时，，显然，n=1时符合．
∴，n∈N^*，由（1）知，a_n=2n﹣1，n∈N^*．∴，n∈N^*．
又，∴，
两式相减得：
所以．
（3），
所以单调递增，
所以，
所以.