Question

【题目】已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于两点，若四边形的面积最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于且，求证：原点到直线的距离为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）四边形面积最大值为，所以根据a,b,c的方程组解出（2）先设，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及，得，再根据点到直线距离公式可得最后验证斜率不存在的情形.

试题解析：解：（1）由椭圆的离心率为知， ， ∴， ∴，

又四边形面积最大值为， ∴， ∴，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设，

由得，

所以，

因为，所以，即

，

所以，原点到直线的距离；

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

则，由得，

解得，所以此时原点到直线的距离为．

综上可知，原点到直线的距离为定值．