Question

【题目】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（Ⅰ）写出函数的解析式；

（Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求 在 值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得 ，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的交点，再根据周期性确定实数和正整数，

试题解析：解：（Ⅰ） ；

（Ⅱ）设 则，

可化为，

设， ，则的图象是开口向上的抛物线一段，

当且仅当，即，

所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解.

（Ⅲ）问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.

在上的草图为：

当或时，直线与曲线没有交点；

当或时，直线与曲线 上有1个交点，由函数的周期性可知，此时；

当时，直线与曲线 上有2个交点，由函数的周期性可知，直线直线与曲线 上总有偶数个交点；

当时，直线与曲线 上有3个交点，由函数的周期性及图象可知，此时.

综上所述，当， 或， ，或时， 在上恰有个零点.