Question

【题目】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点相同.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线都只有一个公共点，记直线与抛物线的公共点为P，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)根据椭圆与抛物线的焦点坐标求解即可

(Ⅱ)分析直线的斜率是否存在,当斜率存在时, 直线的方程为,分别联立直线和椭圆的方程以及直线和抛物线的方程,利用判别式为0解得的关系,从而得出直线的方程.再求切点P的坐标即可.

解：（Ⅰ）由已知可得椭圆的,因此椭圆的右焦点为.

于是,所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）ⅰ.当直线的斜率不存在时,显然不满足题意.

ⅱ.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,

由,

（1）

由,

（2）

由（1）（2）联立得,

将；的值代入方程,

解得或,经检验符合题意,即为所求.