Question

【题目】已知函数，.

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）对任意实数，都有，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：存在唯一，使得，且.

Answer 1

【答案】（1）1;（2）;（3）证明见解析.

【解析】

（1）先求导数，利用极值点处的导数值为零可求实数的值，注意进行验证；

（2）分离参数，，只需要求解的最大值即可；

（3）先利用函数单调性及边界值的符号证明存在性和唯一性，再构造函数结合单调性证明.

（1），因为在处取得极值，所以，

解得；此时，当时，，为增函数；

当时，，为减函数；所以在处取得极小值.

故.

（2）因为对任意实数，都有，所以；

令，则，

当时，，为增函数；当时，，为减函数；

所以有最大值，所以，即实数的取值范围是.

（3）①先证明存在性和唯一性；

由得，

当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增；

，，

令，则，

所以存在唯一的使得.

由（2）知，在递减，在上递增，

因为，时，，所以存在唯一的使得.

②欲证，只需证明；

因为，且，即证，

，即证，

由于在单调递减，且时，，所以，

所以.