题目内容

如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC.问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?

点B在使∠AOB=的位置时,四边形OACB面积最大

解析试题分析:在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S=S△AOB+S△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.
试题解析:设∠AOB=α,                      .1分
在△AOB中,由余弦定理得
AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos∠AOB
=12+22-2×1×2×cosα
=5-4cosα,                      .4分
于是,四边形OACB的面积为
S=S△AOB+S△ABCOA·OBsinα+AB2               6分
×2×1×sinα+(5-4cosα)
=sinα-cosα+
=2sin.                   .10分
因为0<α<π,所以当α-,α=
即∠AOB=时,四边形OACB面积最大12分          12分
考点:1.解三角形;2.三角函数的性质.

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