Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）探究：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为;（2）.

【解析】【试题分析】（1）求导后令导数为零，求出极值点并写出单调区间.（2）由（1）知函数的最小值为，构造函数，利用导数可求得的最大值为零，故，当且仅当时取等号，又，从而得到.

【试题解析】

（1）依题意， ，令，解得，故，

故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；

故函数的单调减区间为，单调增区间为

（2），其中，

由题意知在上恒成立， ，

由（1）可知，∴ ，

∴，记，则，令，得.

当变化时， ， 的变化情况列表如下：

∴，故，当且仅当时取等号，

又，从而得到.