Question

【题目】在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.

（1）求曲线的参数方程；

（2）直线的参数方程为(为参数)，求曲线上到直线的距离最短的点的直角坐标.

Answer 1

【答案】（1）的参数方程为(为参数).（2）

【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程，再利用坐标变换求得的普通方程，进而转化为参数方程；

（2）把直线的参数方程化为普通方程，设曲线上点为，利用点到直线的距离公式弦长点P到的距离，利用三角函数的性质，即可求解.

（1）由，可得，

又由，，代入整理得曲线的普通方程为，

设曲线上的点为，变换后的点为，由题可知坐标变换为，

将代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为.

所以曲线的参数方程为(为参数).

（2）直线的参数方程为(为参数)，

可得直线的直角坐标方程为，

设曲线上的点为，，

则点到直线的距离为，

其中，，

当时，，

此时，，

即此时点的直角坐标为，

所以曲线上到直线的距离最短的点的直角坐标为.