Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）函数h（x）=af（$\frac{x}{2}$）-sin²x有最小值为-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得φ的值，再根据余弦函数的图象的对称性以及周期性求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f（$\frac{π}{8}$）的值．
（2）由题意可得h（x）=cos²x+acosx-1有最小值为-1，而cosx∈[-1，1]，再利用二次函数的性质、分类讨论求得a的值，综合可得结论．

解答 解：（1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，
可得φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=cosωx．
再根据函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=2，
∴f（x）=cos2x，∴f（$\frac{π}{8}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）函数h（x）=af（$\frac{x}{2}$）-sin²x=acosx-（1-cos²x）=cos²x+acosx-1有最小值为-1，
而cosx∈[-1，1]，
∴当-$\frac{a}{2}$＜-1，即a＞2时，h（x）的最小值为1-a-1=-1，求得a=1（舍去）．
当-$\frac{a}{2}$∈[-1，1]，即-2≤a≤2时，h（x）的最小值为$\frac{-4{-a}^{2}}{4}$=-1，求得a=0．
当-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2时，h（x）的最小值为 1+a-1=-1，求得a=-1（舍去）．
综上可得，a=0．

点评 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，余弦函数的图象的对称性以及周期性，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．